MATHEMATICAL BLOG: RECTAS.

FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA LINEA RECTA

Ecuación De La Recta Que Pasa Por El Origen

Considere la recta l que pasa por el origen 0 y forma un ángulo de inclinación con el eje x (fig. 4.6.)

Fig. 4.6Tómese sobre la recta los puntos P₁(x₁, y₁),P₂ (x₂, y₂) y P₃(x_3,y₃). Al proyectar los puntos P_1,P₂ y P₃sobre el eje x, se obtienen los puntos P’₁, P’₂, P’₃.
Como los triángulos OP₁P’₁, OP₂P’₂ y OP₃P’₃ son semejantes; se tiene que:

Esto es, cualquiera que sea el punto P(x, y) sobre l,

ó y = mx (1)

La ecuación (1) es la ecuación de la recta que pasa por el origen y tiene pendiente conocida m.

Ecuación De La Recta Conocida Su Pendiente m Y Su Intercepto b Con El Eje y

Considere una recta l de la que se conocen m (m = tan ) y b (ver fig. 4.7.)

fig. 4.7.

Trácece por el origen la recta l’ paralela a l. Sea P(x, y) un punto de l. Al llamar P’ la proyección de P sobre el eje x; PP’ corta a la recta l’ en un punto P’’ de coordenadas
P’’(x, Y), Y

y.
Como P’’ (x, Y) está sobre l’, entonces

, de donde Y = mx
Ahora, el cuadrilátero OBPP’’ es un paralelogramo.
Luego, P’’P = OB = b. Y se tiene que:
Y = P’P = P’P’’ + P’’P = Y + b = mx + b.
Es decir, para todo (x, y)

l, y = mx + b = (tan

)x + b
La ecuación y = mx + b es la ecuación de la recta en términos de su pendiente m y su intercepto b con el eje y.

Ecuación De La Recta Que Pasa Por Un Punto Y De Pendiente Conocida

Considere la recta l que pasa por un punto dado P₁(x₁, y₁) y cuya pendiente m también es conocida.

Al llamar b al intercepto de la recta l con el eje y, entonces la ecuación de l, viene dada por: y = mx + b (1)
Como P₁(x₁, y₁)

l, entonces satisface (1) y en consecuencia se tiene:
y₁ = mx₁ + b (2)

fig. 4.8

Al restar de la ecuación (2) la ecuación (1) se elimina el parámetro b que se desconoce y se obtiene:

y – y₁ = m(x – x₁) (3)

La ecuación (3) es conocida como la forma: PUNTO-PENDIENTE de la ecuación de la recta.
Nótese que la ecuación (3) también puede escribirse en la forma:
y = mx + (y₁ – mx₁).
Lo que indica que el intercepto b con el eje y viene dado por:
b = y₁ – mx₁

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados P₁(x₁, y₁) y P₂(x₂, y₂)

Sea l la recta que pasa por los puntos P₁(x₁, y₁) y P₂(x₂, y₂) y llámese m₁ su pendiente.

....

Como l pasa por el punto P₁(x₁, y₁) y tiene pendiente m₁, se tiene de acuerdo a 4.4.3, que y – y₁ = m₁ (x – x1) (1)
representa la ecuación de dicha recta.
Ahora, como el punto P₂(x₂, y₂)

l, entonces satisface su ecuación.

fig. 4.9.

Esto es y₂ – y₁ =

; de donde

(2)Sustituyendo (2) en (1) se obtiene

(3)

La ecuación (3) se conoce como la forma: DOS-PUNTOS de la ecuación de la recta.
Observaciones

i. Nótese que la ecuación (2) nos proporciona el valor de la pendiente m y la ecuación
(3) también puede escribirse en la forma:

Lo que indica que el intercepto de la recta l con el eje y viene dado por:

ii. Si (x, y) es un punto cualquiera de la recta determinada por P₁(x₁y₁) entonces la
ecuación de la resta (3) también puede escribirse en forma de determinante, así:

= 0

....

Ecuación segmentaria de la linea recta

Considere la recta l de la cual conocemos los interceptos a y b con los ejes x e y respectivamente (fig. 4.10)

Como l pasa por los puntos A(a, 0) y B(0, b), entonces de acuerdo a la sección la ecuación de lviene dada por:

Es decir,

de donde,

fig. 4.10Dividiendo esta última ecuación por b, se obtiene:

(1)

La ecuación (1) se conoce como la ecuación SEGMENTARIA, CANÓNICA O FORMA DE LOS INTERCEPTOS de la linea recta. Los números a y b son las medidas de los segmentos que la recta intercepta con cada eje, con su signo correspondiente, pues haciendo en (1)
y = 0, resulta x = a (Intercepto con el eje x)
x = 0, resulta x = b (Intercepto con el eje y)

Ecuación general de la linea recta

La ecución Ax + By +C = 0 donde A, B, C son números reales y A, B no son simultáneamente nulos, se conoce como la ECUACIÓN GENERAL de primer grado en las variables x e y.

La ecuación explícita de la recta cuando se conocen dos puntos excluye las rectas paralelas al eje y, cuyas ecuaciones son de la forma x = constante, pero todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación Ax + By + C = 0 que se conoce como: laecuación general de la linea recta, como lo afirma el siguiente teorema:
TEOREMA
La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0 (1) , A, B, C

R; A y B no son simultáneamente nulos, representan una linea recta.

Demostración
i. Se puede Considerar varios casos:

A = 0, B diferente de 0.

En este caso, la ecuación (1) se transforma en By + C = 0,0de donde

(2)

La ecuación (2) representa una linea recta paralela al eje x y cuyo intercepto con el eje y es

(fig. 4.11)

fig. 4.11.

ii.

En este caso, la ecuación (1) se transforma en Ax + C = 0, de donde

(3)

La ecuación (3) representa una linea recta paralela al eje y y cuyo intercepto con el eje x es

(fig. 4.12)

fig. 4.12.

iii.

En este caso, la ecuación (1) puede escribirse en la siguiente forma:

(4)

La ecuación (4) representa una linea recta, cuya pendiente es

y cuyo intercepto con el eje yviene dado por

(fig. 4.13)

fig. 4.13.

obeservaciones

    i.   Es posible escribir la ecuación general de la linea recta en varias formas, de tal
         manera que solo involucre dos constantes. Es decir, si A, B y C son todos distintos
         de cero, podemos escribir la ecuación (1), en las siguientes formas equivalentes:

(1A)
(1B)
(1C)

En cada una de las ecuaciones (1A), (1B) y (1C) existe esencialmente solo dos
constantes independientes, por ejemplo

en (1A)

Esto indica que para determinar la ecuación de una recta en particular, necesitamos conocer dos condiciones, como por ejemplo, dos puntos, un punto y la pendiente, en concordancia con lo establecido en los numerales anteriores.

     iii.   Cuando la ecuación de una recta esta expresada en la forma general
          Ax + By + C = 0, su pendiente ó coeficiente angular con respecto al eje x, m
         viene dado por